Σε μία κατσαρόλα βάζουμε τη ζάχαρη, το γάλα και τα αυγά. Τα βάζουμε τη φωτιά και χτυπάτε μέχρι να γίνει χλιαρό το μίγμα, περίπου 36-40 βαθμούς. Προσοχή, αν κάψει πολύ το μίγμα θα «κάψει» τη μαγιά. Προσθέτουμε το ξύσμα πορτοκαλιού και ανακατεύουμε. Βάζουμε στον κάδο του μίξερ το αλεύρι, το αλάτι, το μέχλεπι, τη μαστίχα, το κάρδαμο και ανακατεύουμε. Βάζουμε τη μαγιά και ανακατεύουμε. 
Ρίχνουμε το μίγμα με το γάλα στο μίξερ και ζυμώνουμε καλά. Όταν φτάσουμε στο 70% του ζυμώματος βάζουμε κουταλιά κουταλιά το βούτυρο που έχει μαλακώσει. Ζυμώνουμε για 20 λεπτά σε μέτρια ταχύτητα. 
Βγάζουμε τη ζύμη από το μίξερ και τη βάζουμε σε ένα μπολ το οποίο έχουμε αλείψει με λάδι. Σκεπάζουμε με πλαστική μεμβράνη και την αφήνουμε στην άκρη για 4  ώρες να φουσκώσει. Καλύτερα βάζουμε και μια κουβέρτα από πάνω. Για να φουσκώσει πιο γρήγορα ανάψτε το φούρνο στους 40°C και βάλτε στη βάση ένα γυάλινο μπολ με νερό που κοχλάζει. Βάζουμε μέσα το μπολ και αφήνουμε να φουσκώσει για 1 ½ -2 ώρες.
Ξεσκεπάζουμε το ζυμάρι και το διπλώνουμε. Δηλαδή φέρνουμε τις άκριες προς τα μέσα και ζυμώνουμε. Σκεπάζουμε και πάλι το μπολ με πλαστική μεμβράνη και το αφήνουμε να φουσκώσει 1 – 1 ½ ώρα.
Αφαιρούμε το ζυμάρι από το μπολ και το κόβουμε σε 3 κομμάτια. Πλάθουμε το κάθε κομμάτι σε μπαστουνάκι. Βάζουμε το ένα μπαστουνάκι δίπλα στο άλλο. Κολλάμε την άκρια του μεσαίου και του αριστερά στο πρώτο. Κάνουμε μια αρκετά σφικτή μπλεξούδα. Είναι σημαντικό να είναι σφικτή για να μην ανοίξει. Ξεκινάτε από το κορδόνι που είναι δεξιά και το φέρνουμε πάνω από το μεσαίο. Μετά, κάνουμε το ίδιο με το αριστερό κορδόνι. Και επαναλαμβάνουμε το ίδιο μέχρι να τελειώσει το τσουρέκι. Βάζουμε τις άκριες προς τα μέσα για να μην ανοίξει το τσουρέκι. Κλείνουμε την μπλεξούδα και σχηματίζουμε ένα στεφάνι. 
Το βάζουμε σε ένα ταψί με αντικολλητική λαδόκολλα και σκεπάζουμε με πετσέτα ή πλαστική μεμβράνη. Το αφήνουμε στην άκρη για 1 – 1 ½ ώρα να φουσκώσει.
Χτυπάτε καλά το αυγό και αλείφουμε το τσουρέκι προσεκτικά χρησιμοποιώντας ένα πινέλο. Το περνάτε 2 φορές με το αυγό για να ροδίσει ωραία. Στολίζουμε με τα αυγά και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 160°C για 25-30 λεπτά.