Σε ένα μπολ, βάζουμε το αλεύρι, το αλάτι και ανακατεύουμε. Κάνουμε μια τρύπα στη μέση του αλευριού, ρίχνουμε το ηλιέλαιο και ρυζιάζουμε. Δηλαδή, τρίβουμε με τις παλάμες σας μέχρι να σχηματιστούν χοντρά ψίχουλα. Ρίχνουμε λίγο - λίγο το νερό και ζυμώνουμε μέχρι να πετύχουμε μια μαλακή ζύμη. Για ευκολία, ζυμώνουμε στο μίξερ για 5 λεπτά. Σκεπάζουμε το μπολ, με πλαστική μεμβράνη και κρατάμε τη ζύμη στην άκρη για 30 λεπτά.
Για τη γέμιση: Βάζουμε το ελαιόλαδο σε ένα τηγάνι και σοτάρουμε το κρεμμύδι μέχρι να ροδίσει καλά, περίπου 7 - 8 λεπτά. Το αφήνουμε λίγο να κρυώσει. Σε ένα μπολ, βάζουμε το χαλλούμι, το φρέσκο δυόσμο, το πιπέρι, το μίγμα του καραμελωμένου κρεμμυδιού και τα αυγά. Ανακατεύουμε. Χωρίζουμε τη ζύμη σε 4 - 5 κομμάτια. Τα πλάθουμε σε μπάλες. Αλευρώνουμε την επιφάνεια που θα ανοίξουμε το ζυμάρι και τοποθετούμε επάνω τις μπάλες. 
Παίρνουμε μία και την ανοίγουμε με τον πλάστη σε μεγάλο ορθογώνιο λεπτό φύλλο. Βάζουμε στην άκρη του φύλλου 1 κουταλάκι από το μίγμα χαλλουμιού και επαναλαμβάνουμε το ίδιο σε όλο το μήκος του φύλλου, αφήνοντας 7 - 8 εκατοστά απόσταση μεταξύ τους. Κλείνουμε το φύλλο και το πιέζουμε ελαφρά γύρω - γύρω από το χαλλούμι για να ενωθούν οι άκριες του φύλλου. Κόβουμε με ένα μαχαίρι ή με το ειδικό κουπ ατ σε τετράγωνα κομμάτια, 6 - 7 εκ. Αν θέλουμε, πιέζουμε τις άκριες με ένα πιρούνι. Βάζουμε τη σάτζιη (ή αντικολλητικό τηγάνι) στο μάτι της κουζίνας να ζεσταθεί και τοποθετούμε επάνω τα πουρέκια. Ψήνουμε για 2 - 3 λεπτά γυρίζοντάς τα να ροδίσουν ομοιόμορφα. 
Αν μας αρέσει το φύλλο από τα πουρέκια να είναι μαλακό, τότε τα βάζουμε σε ένα μπολ και το σκεπάζουμε με το καπάκι του.