Ετοιμάζουμε τα τυριά: Η διαδικασία για τη γέμιση ξεκινά δυο μέρες πριν φτιάξουμε τις φλαούνες. Τρίβουμε το τυρί στη λεπτή μεριά του τρίφτη και τα βάζουμε σε ένα μπολ. Το ίδιο κάνουμε και με το χαλλούμι. Τα σκεπάζουμε με μια πλαστική μεμβράνη και τα βάζουμε στο ψυγείο. Κατά διαστήματα, ανακατεύουμε τα τυριά, φέρνοντας τα κάτω προς τα πάνω. Με αυτό τον τρόπο, θα στεγνώσουν και θα “τραβήξουν” περισσότερα αυγά, με αποτέλεσμα οι φλαούνες να γίνουν πιο αφράτες.

Ετοιμασία φλαούνων: Τη μέρα που θα κάνουμε τις φλαούνες βγάζουμε το τυρί και το χαλλούμι από το ψυγείο να έρθει σε θερμοκρασία δωματίου.

Φτιάχνουμε τη ζύμη: Ρίχνουμε το χλιαρό νερό και το γάλα σε ένα μπολ και βάζουμε τη μαγιά. Ανακατεύουμε και αφήνουμε στην άκρη για 20 λεπτά.
Βάζουμε στον κάδο του μίξερ, το αλεύρι, το αλάτι, το μέχλεπι, τη μαστίχα, τη ζάχαρη και ανακατεύουμε με το γάντζο. Ρίχνουμε το λάδι και ανακατεύουμε. Προσθέτουμε διαδοχικά λίγη ποσότητα από το γάλα και λίγη από τα ελαφρώς χτυπημένα αυγά μέχρι να φτιάξουμε μια μαλακή ζύμη που να μην κολλά στα χέρια μας. Τη ζυμώνουμε στο μίξερ για 5 λεπτά. Στο χέρι, θα πρέπει να ζυμώσουμε για 10 - 15 λεπτά. Πλάθουμε τη ζύμη σε μπάλα, την αλείφουμε με λίγο λάδι και τη σκεπάζουμε με μια πετσέτα και στη συνέχεια με μια κουβέρτα. Την αφήνουμε να διπλασιαστεί σε όγκο. Θα χρειαστεί περίπου 1 ½ ώρα.  

Για τη γέμιση: Σε ένα μπολ, βάζουμε το τυρί, το χαλλούμι, τη μαστίχα, τη ζάχαρη, το αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ, τα σταφιδάκια και το δυόσμο και ανακατεύουμε καλά. Στη συνέχεια, ρίχνουμε λίγη - λίγη ποσότητα από τα ελαφρώς χτυπημένα αυγά. Για να είναι έτοιμη η γέμιση πρέπει να φτιάχνουμε ένα μεγάλο μπαλάκι, να το σφίγγουμε με τις παλάμες μας και να μη σπάζει. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή όταν θα ρίχνουμε τα αυγά γιατί μπορεί να μην τα “σηκώσει” όλα. Σκεπάζουμε το μπολ με πετσέτα και στη συνέχεια με κουβέρτα.
Βάζουμε αντικολλητική λαδόκολλα σε 2 ταψιά του φούρνου και προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C στον αέρα. Παίρνουμε 160γρ. από τη γέμιση και φτιάχνουμε μια σφικτή μπάλα. Θα σχηματίσουμε συνολικά 15 μπάλες των 160γρ.
Πλάθουμε τη ζύμη σε ένα μακρύ μπαστουνάκι και την κόβουμε σε 15 κομμάτια των 110γρ. Πλάθουμε 15 μπαλάκια ζύμης και τα σκεπάζουμε με μία πετσέτα. Παίρνουμε ένα μπαλάκι ζύμης και το ανοίγουμε με τον πλάστη σε λεπτό φύλλο με πάχος 3 χιλιοστών. Με οδηγό ένα πιατάκι του γλυκού (διαμέτρου 16 εκ. περίπου) κόβουμε στρογγυλούς δίσκους από το φύλλο.
Ανακατεύουμε λίγο το σουσάμι και βάζουμε μέσα το φύλλο πιέζοντάς το για να κολλήσει στην κάτω μεριά. Το ανοίγουμε λίγο με τον πλάστη για να κολλήσει καλά το σουσάμι. Βάζουμε στο κέντρο του μια μπάλα από τη γέμιση. Φέρνουμε την πάνω και την κάτω πλευρά προς τα μέσα στο μέσο της γέμισης. Πιέζουμε στο κάτω μέρος της γέμισης το φύλλο για να στερεωθεί. Διπλώνουμε προς τα μέσα τις αντίθετες πλευρές και πιέζουμε με τα δάχτυλα να στερεωθεί το φύλλο. Αν θέλουμε πιέζουμε τις γωνίες της φλαούνας με το πιρούνι. Τις τοποθετούμε στο ταψί αφήνοντας 3 εκ. μεταξύ τους και τις αλείφουμε (το φύλλο και τη γέμιση) με το χτυπημένο αυγό (αν θέλουμε βάζουμε μέσα και λίγο σουσάμι). Ψήνουμε τις φλαούνες στον προθερμασμένο φούρνο για 45 - 50 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν καλά.